1.Khái niệm về hàm số
a)Hàm số
Định nghĩa:

Cho một tập hợp khác rỗng D C R
Hàm số f xác định trên D là 1 quy tắc đặt tương ứng môĩ số x thuộc D với một và chỉ một số ,kí hiệu là f(x) ; số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x.
Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định),x gọi là biến số hay đối số của hàm số f
Để chỉ rõ kí hiêụ biến số ,hàm số f còn được viết là y = f(x),hay đầy đủ hơn là f : D -> R
x I-> y = f(x)
b) Hàm số cho bằng biểu thức :
Nếu ƒ(x) là một biểu thức của biến x thì với mỗi giá trị của x , ta tính được một giá trị tương ứng duy nhất của ƒ(x) ( nêú có xác định).Do đó,ta có hàm số y= ƒ(x).Ta nói hàm số đó được cho bằng biểu thức ƒ(x).
Khi cho hàm số bằng biểu thức,ta quy ước rằng:
Nếu không có giải thích gì thêm thì tập xác định của hàm số y =ƒ (x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị của biêủ thức f(x) được xác định.
Chú ý:
Trong kí hiệu hàm số y= ƒ(x) ta còn goị x là biến số độc lập,y là biến số phụ thuộc của hàm số ƒ .Biến số độc lập và biến số phụ thuộc của một hàm số có thể đựơc kí hiệu bằng hai chữ cái tuỳ ý khác nhau. Chẳng hạn y= x2-2x-3 và u=t2-2t-3 là hai cách cùng biểu thị 1 hàm số.
c) Đồ thị của hàm số
Cho hàm số y=ƒ(x) xác định trên tập D .Ta đã biết:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy,tập hợp (G) các điểm có tọa độ (x; ƒ(x)) với x E D,gọi là đồ thị của hàm số ƒ.Nói cách khác,
M(x0;y0) E (G)  x0 E D và y0 = ƒ(x0))


2.Sự biến thiên của hàm số:
a)Hàm số đồng biến,hàm số nghịch biến:
Định nghĩa:

Cho hàm số ƒ xác định trên K
Hàm số ƒ gọi là đồng biến ( hay tăng ) trên K nếu
v x1,x2 E K, x1 ƒ(x1)<ƒ(x2);
Hàm số ƒ goị là nghịch biến (hay giảm) trên K nêú
v x1,x2 E K, x1 ƒ(x1)>ƒ(x2)



Chú ý :
Nêú 1 hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên
Nêú 1 hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống

Chú ý :
Nếu ƒ(x1)=ƒ(x2) với mọi x1,x2 thuộc K tức là ƒ(x)=c với mọi x thuộc K (c là hằng số) thì ta có hàm số không đôỉ (còn goị là hàm số hằng )trên K.
b)Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến nghịch biến, không đổi trên các khoảng ( nửa khoảng hay đoạn) nào trong tập xác định của nó
Hàm số đồng biến trên K khi và chỉ khi
V x1,x2 E K và x1 # x2
>0
Hàm số nghịch biến trên K khi và chỉ khi
V x1,x2 E K và x1 # x2

ƒ (x2)-ƒ(x1)
X2-x1
<0
ƒ (x2)-ƒ(x1)
X2-x1
3.Hàm số chẵn,hàm số lẻ
a)Khaí niệm hàm số chẵn , hàm số lẻ
Định nghĩa:



Cho hàm số y= ƒ(x) với tập xác định D
Hàm số ƒ goị là hàm số chẵn nêú với mọi x thuộc D, ta có –x cũng thuộc D va ƒ(-x)= ƒ(x)
Hàm số ƒ goị là hàm số lẻ nêú với mọi x thuộc D, ta có –x cũng thuộc D va ƒ(-x)= -ƒ(x)

b) Đồ thị hàm số chẵn và lẻ
ĐỊNH LÍ :

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm trục đối xứng.

4.Sơ lược về tịnh tiến đồ thị song song với trục toạ độ
a)Tịnh tiến một điểm
Trong mặt phẳng xét điểm M0(x0;y0).Với số k>0 đã cho,ta có thể dịch chuyển điểm M0:
Lên trên hoặc xuống dưới(theo phương của trục tung) k đơn vị
Sang trái hoặc sang phải(theo phương của trục tung) k đơn vị
Khi dịch chuyển điểm M0 như thế,ta còn nói rằng tịnh tiến điểm M0 song song với trục
toạ độ
b)Tịnh tiến một đồ thị
Cho số k>0.Nếu ta tịnh tiến tất cả các điểm của đồ thị (G) lên trênk đơn vị thì
tập hợp các điểm thu được tạo thành hình(G1). Điều đó được phát biểu là:
ĐỊNH LÍ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đồ thị (G) của hàm số y= ƒ(x);p và q là hai
số dương tuỳ ý.Khi đó:
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị của hàm số y=ƒ (x)+q;
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị của hàm số y=ƒ (x)-q;
Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y=ƒ (x+p);
Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y=ƒ (x-p);






1.Nhắc lại về hàm số bậc nhất
Ta đã biết:Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng y=ax+b,trong đó a và b là những hằng số với a#0.
Hàm số bậc nhất có tập xác định là R
Khi a>0,hàm số y=ax+b đồng biến trên R
Khi a<0,hàm số y=ax+b nghịch biến trên R


x
-∞
+∞
y=ax+b
(a>0)
-∞
+∞



x
-∞
+∞
y=ax+b
(a>0)
-∞
+∞

2.Hàm số y= ax+b
a)Hàm số bậc nhất trên từng khoảng


Xét hàm số y=ƒ(x)=
{
x+1 nếu 0< hoặc= x < 2
-1/2x+4 nếu 2< hoặc =x < hoặc=4
2x-6 nếu 4< x < hoặc =5
Muốn vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất trên từng khoảng,ta vẽ đồ thị của từng hàm số tạo thành.Chẳng hạn đồ thị hàm số nêu trên là đường gấp khúc ABCD,trong đó:
AB là phần đường thẳng y=x+1 ứng với 0< =x<2;
BC là phần đường thẳng y=-1/2x+4 ứng với 2< =x < =4;
CD là phần đường thẳng y=2x-6 ứng với 41
4
5
2
3
4
2


O
y
x
b) Đồ thị và sự biến thiên của hàm số y= ax+b với a#0
Ví dụ1: Xét hàm số y= x
Dễ thấy hàm số trên là hàm số chẵn.Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có


X =
{
X nếu x> =0
-x nếu x<0
Do đó đồ thị của hàm số này là sự lắp ghép của hai đồ thị:đồ thị của hàm số y=x(chỉ lấy phần x>0) và đồ thị hàm số y =-x (chỉ lấy phần x<0)


O
y
x
-1
1
1
Chú ý :Qua ví dụ trên đây,ta có thể vẽ đồ thị của hàm số y= ax+b bằng một cách đơn giản hơn như sau:Vẽ hai đường thẳng y = ax+b và y= - ax - b
Rồi xoá đi 2 phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành
Bài 1 :
Cho hàm số y=ƒ(x)=
{
2x+4 nếu -2< = x< -1
-2x nếu -1< = x< = 1
x-3 nếu 1 < x < =3
a)Tìm tập xác định và vẽ đồ thị của hàm số đó
b) Cho biết sự biến thiên của hàm số đã cho tren mỗi khoảng ( -2 ;-1) (-1 ; 1) và (1 ;3)
Và lập bảng biến thiên của nó.
BÀI GIẢI
a)Tập xác định của hàm số là đoạn [-2; 3]
b)
Trên khoảng (-2 ;-1) hàm số đồng biến
Trên khoảng (-1 ;1) hàm số nghịch biến
Trên khoảng (1; 3) hàm số đồng biến


Bảng biến thiên
x
ƒ(x)
-1
1
-2
3
-2
2
0
0






Ta vẽ đồ thị của 3 hàm số tạo thành là :
Y= 2x+4 nếu -2< = x< -1
Y= -2x nếu -1< = x< = 1
Y= x-3 nếu 1 < x < =3
Đồ thị của hàm số đã cho được vẽ như sau:





-2
-1
-2
1
2
3
0
O
y
x




Bài 2:
Tìm hàm số y=ƒ(x) biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng đi qua điểm (2 ;5) và có hệ số góc bằng 1,5;
Vẽ đồ thị của hàm số tìm được
BÀI GIẢI

Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất và có dạng y= -1,5x+b.Vì đồ thị đi qua (2;5) nên ta có:
5= -1,5 (-2) +b
5=+3 +b => b=2
Hàm số cần tìm là :y= -3/ 2x +2
b) Đồ thị của hàm số y=-3/2 x+2 :


x
o
y
2
4/ 3
1
1
Bài 3:
Gọi (G) là đồ thị của hàm số y= 2 x
a) Khi tịnh tiến (G) lên trên 3 đơn vị ,ta được đồ thị của hàm số nào?
b) Khi tịnh tiến (G) sang trái 1 đơn vị ,ta được đồ thị của hàm số nào?
c) Khi tịnh tiến (G) sang phải 2 đơn vị ,ta được đồ thị của hàm số nào?
BÀI GIẢI



a)Khi tịnh tiến(G) lên trên 3 đơn vị ta được đồ thị của hàm số :
y= 2 x +3
b) Khi tịnh tiến (G) sang trái 1 đơn vị ,ta được đồ thị của hàm số
y= 2 x + 1
c)Trước hết tịnh tiến(G) sang phải 2 đơn vị ta được đồ thị của hàm số
y = 2 x -2
gọi đồ thị hàm số này là (G’),Tịnh tiến (G’) xuống dưới 1 đơn vị ,ta được đồ thị của hàm số
y= 2 x -2 -1
1. ĐỊNH NGHĨA
Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng công thức có dạng y= ax2 +bx+c,trong đó a,b,c là những hằng số với a# 0
2. Đồ thị của hàm số bậc hai
a)Nhắc lại về đò thị hàm số y=ax2(a#0)
Ta đã biết, đồ thị hàm số y=ax2(a#0) là parabol(P0) có các đặc điểm sau:
1) Đỉnh của parabol (P0) là gốc toạ độ 0;
2)Parabol(P0) có trục đối xứng là trục tung;
3Parabol(P0) hướng bề lõm lên trên khi a>0 và xuống dưới khi a<0
VD:Parabol y=2x2 :





o
y
x
-1
1
-2
1
Y=2x2
b) Đồ thị hàm số y=ax2 +bx+c (a#0)
Ta đã biết
ax2 +bx+c =a(x2+ 2 x+ ) - +c

= a(x+ )2

Do đó ,nếu đặt


=b2 – 4 ac , p= -b/2a và q= -
4a
b
2a
b2 – 4ac
4a
b2
4a2
b2
4a
2a
b
thì hàm số y=ax2 +bx+c có dạng y=a(x-p)2 +q
Gọi (P0) là parabol y=ax2 .Ta thực hiện hai phép tịnh tiến liên tiếp như sau:
Tịnh tiến (P0) sang phải p đơn vị nếu p>0,sang trái p đơn vị nếu p<0 ,ta được đồ thị hàm số y=a(x-p)2.Gọi đồ thị này là (P1)
Tiếp theo , tịnh tiến (P0) lên trên q đơn vị nếu q >0,sang trái q đơn vị nếu q<0 ,ta được đồ thị hàm số y=a(x-p)2 +q.Gọi đồ thị này là (P).Vậy (P) là đồ thị hàm số y=ax2 +bx+c
Ta nhận thấy (P1) và(P) đều là những hình giống hệt parabol (P0) ứng với trường hợp p>),q>0)

Kết luận
Đồ thị của hàm số y=ax2 +bx+c (a#0) là một parabol có đỉnh
I( ; ),nhận đường thẳng x=-

hướng bề lõm lên trên khi a>0,xuống dưới khi a<0.

b
2a
4a
2a
b
Các bước vẽ đồ thị hàm số y= ax2 +bx+c:
Xác định đỉnh của parabol;
Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol
Xác định một số điểm cụ thể của parabol(chẳng hạn ,giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng.
Căn cứ vào tính đối xứng,bề lõm và hình dáng parabol để”nối” các điểm đó lại.
3.Sự biến thiên hàm số bậc hai

x
y=ax2+bx+c
-∞
+∞
+∞
+∞
4a
x
y=ax2+bx+c
-∞
-∞
+∞
-∞
4a
(a>0)
(a<0)
Như vậy:
Khi a>0,hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; ),
đồng biến trên khoảng( ; +∞) và có giá trị nhỏ nhất là khi
x=-

Khi a>0,hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; ),

đồng biến trên khoảng( ; +∞) và có giá trị nhỏ nhất là khi
x=-




b
b
b
b
b
b
2a
2a
4a
2a
2a
2a
2a
4a
-
-
-
-
-
-
Bài 1:Gọi (P) là đồ thị của hàm số y=a(x-m)2.Tìm a và m trong mỗi trường hợp sau:
a) Parabol có đỉnh là I (-3 ;0 ) và cắt trục tung tại điểm M(0 ;-5);
b) Đường thẳng y= 4 cắt (P) tại 2 điểm A(-1;4) và B(3;4);

Vì parabol có đỉnh là (-3;0) nên a(-3 –m)2 =0
 m= -3 (do a#0).Parabol cắt Oy tại M(0;5) nên ta có:
-5=a(0+3)2 => a= -5/9 .Vậy a= -5/9 ,m= -3
b) Từ giả thiết ta suy ra phương trình y=a(x-m)2 nhận 2 cặp số y=4,x=-1và y=4,x=3 là nghiệm,Từ đó ta thay vào phương trình tìm được:a=m=1.Vậy a=m=1 thoả yêu cầu bài toán
Bài2:Hàm số y= -2x2 -4x+6 có đồ thị là parabol (P)
a)Tìm toạ độ đỉnh và phương trình trục đối xứng của (P)
b) Vẽ parabol (P)
c)Dựa vào đồ thị ,hay cho biết tập hợp các giá trị của x sao cho y>=0
a)Hàm số y= -2x2 -4x+6 có đồ thị là parabol(P)
Toạ độ đỉnh là I(-1;8)
Trục đối xứng x= -1
b)Parabol có toạ độ đỉnhI(-1;8) trục đối xứng là x= -1 vì hàm số có a= -2<0 nên đồ thị hàm số có bề lõm quay lên trên
Giao điểm với trục hoành là (-3;1)
Giao điểm với trục tung là (0;6)
Đồ thị hàm số trên đựơc vẽ như sau:

1
-1
-3
6
8
O
x
y
c) y> =0  -3 <=x<=1
Vậy S= { x E R -3<=x<=1 } = [-3;1] là
tập hợp cần tìm
Bài 3: Vẽ đồ thị rồi lập bảng biến thiên của hàm số sau: y= -x2+2 x +3
y=
-x2 +2x+3 nếu x>=0
-x2 -2x+3 nếu x<0
{
Xét hàm số y= -x2 +2x+3 vì a<0 nên hàm số có đồ thị với bề lõm quay xuống dưới
Toạ độ đỉnh I(1;4)
Trục đõi xứng x=1
Giao điểm với trục hoành (-1;0) và (3;0)
Giao điểm với trục tung (0;3)

Xét hàm số y= -x2 -2x+3 vì a<0 nên hàm số có đồ thị với bề lõm quay xuống dưới
Toạ độ đỉnh I(-1;4)
Trục đõi xứng x= -1
Giao điểm với trục hoành (1;0) và (-3;0)
Giao điểm với trục tung (0;3)

1
-1
-3
3
x
y
O
4
3
x
y
-∞
+∞
-1
0
1
-∞
-∞
3
4
4
1.Nhị thức bậc nhất và dấu của nó:
a)Nhị thức bậc nhất:
ĐỊNH NGHĨA
Nhị thức bậc nhất (đối với x) là biểu thức dưới dạng ax+b,trong đó a và b là 2 số cho trước với a #0
b)Dấu của nhị thức bậc nhất
ĐịNH LÍ(về dấu của nhị thức bậc nhất)


Nhị thức bậc nhất (x)=ax+b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó

x
y
+∞
-∞
x0
Cùng dấu với a
Trái dấu với a
0
Bài 1: Lập bảng xét dấu của các biểu thức:
a)
4-3x
2x+1
3x-2
2-x
b)
1-
a) Ta có bảng xét dấu sau:
4-3x
x
2x+1
4-3x
2x+1
+∞
-∞
-1
2
4
3
0
0
0
+
-
-
-
-
+
+
+
+
b)Ta có bảng xét dấu sau:

4-3x
x
2x+1
4-3x
2x+1
+∞
-∞
2
0
0
0
-
+
-
+
+
+
-
-
+
3
1
Bài 2:Giải phương trình sau:

a)
x+1+
x-1 =4
Lập bảng bỏ dấu giá trị tuyệt đối
x
Vế trái
x-1
x+1
-∞
-1
0
x+1
-x-1
-2x
-x+1
1
-x+1
2
0
x+1
x-1
2x
+∞
Từ bảng xét dấu trên ta thấy phương trình có hai nghiệm x1=-2 ;x2=2 và thoả điều kiện đã tìm được
1.Tam thức bậc hai:
ĐịNH NGHĨA
Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2+bx+c trong đó a,b,c là những số cho trước với a#0

2.Dấu của tam thức bậc hai:
Từ sự quan sát các đồ thị của hàm số bậc hai y= ax2 +bx+c ta được định lí sau đây:

ĐịNH LÍ
Cho tam thức bậc hai ƒ(x)= ax2 +bx+c (a#0).
Nếu <0 thì ƒ(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x E R
Nếu = 0 thì ƒ(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x # - b/2a
Nếu >0 thì ƒ(x) có 2 nghiệm x1,x2 (x1 x2).

Hệ quả:
V x E R, ax2 +bx+c >0 
a>0
<0
>0
a<0
V x E R , ax2+bx+c<0 
{
{
Bài 1: Xét dấu của các tam thức bậc 2 sau:
a)3x2-2x+1
b)3x2 -8x+2
c)2x2 -3x+5
Vì ’ =1-3= -2<0 => ƒ(x) >0 với mọi x E R (vì a =3>0)
Ta có bảng xét dấu sau:
x
ƒ(x)= 3x2 - 8x+2
-∞
+∞
x2
x1
0
0
+
-
+
c)Ta có bảng xét dấu sau
x
ƒ(x)=2x2 +3x-5
-∞
+∞
1
-5/ 2
0
0
+
-
+